已知数列{An}中,A1=2,An加A(n减1)=3^n(n大于等于2),求An.

符号 < > 内表示 下脚标
A1 = 2
A2 + A1 = 3^2 = 9
A2 = 7

A<n> + A<n-1> = 3^n
A<n+1> + A<n> = 3^(n+1)

两式做差
A<n+1> - A<n-1> = 3^(n+1) - 3^n = 2 * 3^n

对于 奇数位置 项
A1 = 2
A3 - A1 = 2 * 3^2
A5 - A3 = 2 * 3^4
……
A<2k+1> - A<2k -1> = 2 * 3^(2k)

以上各等式相加， 左端可消去 A1 A3 …… A<2k-1>，之后残留：
A<2k + 1> = 2 + 2*[3^2 + 3^4 + …… + 3^(2k)]
= 2 + 2 * 9 * [9^k -1]/(9 -1)
= 2 + 9(9^k -1)/4

按照同样方法：
A2 = 7
A4 - A2 = 2*3^3
A6 - A4 = 2*3^5
……
A<2k> - A<2k-2> = 2* 3^(2k-1)

A<2k> = 7 + 2*[3^3 + 3^5 + …… + 3^(2k-1)]
= 7 + 2*27*[9^(k-1) - 1)]/(9 -1)
= 7 + 27*[9^(k-1) -1]/4

综上所述

A<2k + 1> = 2 + 9(9^k -1)/4 （ k 从0开始）
A<2k> = = 7 + 27*[9^(k-1) -1]/4 （k 从1 开始）

为了统一 k 起始值，上面式子 可等效变换为：
A<2k - 1> = 2 +